積分　a^x

$3$\displaystyle{\int {a}^{x} dx}$ $3$\displaystyle{ $ a> 0,a\neq 1 $ }$

指数関数の底を $3$\displaystyle{e}$ に変換すると(参照)， $3$\displaystyle{{a}^{x}={e}^{ x\log a }}$ となる．これを用いて上式を書き換えると

$3$\displaystyle{\int {a}^{x}dx=\int {e}^{ x\log a } dx}$

注：このサイトでは自然対数を $3$ lna$ ではなく， $3$ \log a$ と表記するようにしている．

となる．

$3$\displaystyle{t=x\log a}$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\log a}$ → $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}dt}$

より，置換積分する．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ x\log a }dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {e}^{t} }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}\displaystyle{ \int {e}^{t} }dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}{e}^{t}+C}$ ∵ここを参照

変数 $3$t$ を $3$x$ に戻す．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}{e}^{ x\log a }+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}+C}$ ( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{{e}^{ x\log a }={a}^{x}}$ )

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>基本となる関数の積分>>積分　 $3$\displaystyle{{a}^{x}}$

学生スタッフ作成
最終更新日 2025年4月23日

積分 a^x

積分　a^x